Aquí tienes una guía rápida con la teoría esencial ejercicios resueltos paso a paso sobre la Distribución de Poisson. ¿Qué es la Distribución de Poisson?
Se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo continuo (tiempo, área, volumen o distancia). La fórmula fundamental:
cap P open paren cap X equals k close paren equals the fraction with numerator e raised to the negative lambda power center dot lambda to the k-th power and denominator k exclamation mark end-fraction Promedio de ocurrencias en el intervalo dado. Número de éxitos exactos que deseamos calcular. Constante de Euler (aprox. 2.71828). Ejercicio 1: Eventos en el tiempo Enunciado:
Un centro de atención al cliente recibe un promedio de 3 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 2 llamadas en la próxima hora? Solución: Identificar datos: Aplicar fórmula:
cap P open paren cap X equals 2 close paren equals the fraction with numerator e to the negative 3 power center dot 3 squared and denominator 2 exclamation mark end-fraction
cap P open paren cap X equals 2 close paren equals the fraction with numerator 0.0498 center dot 9 and denominator 2 end-fraction equals 0.2241 Resultado: de probabilidad de recibir 2 llamadas. Ejercicio 2: Cambio de intervalo Enunciado:
Si una carretera promedia 2 accidentes por mes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra solo 1 accidente en un periodo de Solución: El promedio es 2 por mes. Para 2 meses, Identificar datos: Aplicar fórmula:
cap P open paren cap X equals 1 close paren equals the fraction with numerator e to the negative 4 power center dot 4 to the first power and denominator 1 exclamation mark end-fraction
cap P open paren cap X equals 1 close paren equals 0.0183 center dot 4 equals 0.0732 Resultado: La probabilidad es del Ejercicio 3: Probabilidad acumulada ("Al menos") Enunciado:
En una fábrica, se producen 0.5 errores por lote de producción. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote tenga al menos un Solución: Analizar el problema: "Al menos uno" significa . Es más fácil calcular el complemento:
cap P open paren cap X equals 0 close paren equals the fraction with numerator e to the negative 0.5 power center dot 0.5 to the 0 power and denominator 0 exclamation mark end-fraction equals e to the negative 0.5 power is approximately equal to 0.6065 Aplicar complemento: 1 minus 0.6065 equals 0.3935 Resultado: de probabilidad de encontrar al menos un error. ¿Te gustaría que preparemos una tabla de valores de Poisson o prefieres ejercicios con intervalos de área
La distribución de Poisson es uno de los pilares de la estadística aplicada, especialmente útil para modelar eventos raros o situaciones donde contamos cuántas veces ocurre algo en un intervalo determinado.
Si estás buscando dominar este tema, no hay mejor forma que practicando. A continuación, presentamos una guía rápida y una serie de ejercicios resueltos de distribución de Poisson diseñados para despejar cualquier duda. ¿Qué es la Distribución de Poisson?
Se utiliza para describir la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo fijo de tiempo, espacio o volumen. La fórmula fundamental es:
P(X=k)=e−λ⋅λkk!cap P open paren cap X equals k close paren equals the fraction with numerator e raised to the negative lambda power center dot lambda to the k-th power and denominator k exclamation mark end-fraction : Probabilidad de que ocurran exactamente
(lambda): Promedio de ocurrencias en el intervalo dado (esperanza). : Base de los logaritmos naturales (aprox. 2.71828). : Factorial de Ejercicio 1: El taller mecánico ejercicios resueltos de distribucion de poisson
Enunciado: Un taller mecánico recibe un promedio de 3 autos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora determinada lleguen exactamente 5 autos? Solución: Identificar datos: Aplicar fórmula:
P(X=5)=e-3⋅355!cap P open paren cap X equals 5 close paren equals the fraction with numerator e to the negative 3 power center dot 3 to the fifth power and denominator 5 exclamation mark end-fraction Cálculo:
P(X=5)=0.0498⋅243120≈0.1008cap P open paren cap X equals 5 close paren equals the fraction with numerator 0.0498 center dot 243 and denominator 120 end-fraction is approximately equal to 0.1008 Resultado: La probabilidad es del 10.08%. Ejercicio 2: Errores tipográficos
Enunciado: Un libro de 500 páginas tiene 500 errores de impresión distribuidos aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que una página seleccionada al azar tenga exactamente 2 errores. Solución: Calcular
: Si hay 500 errores en 500 páginas, el promedio por página es Identificar : Queremos saber la probabilidad para Aplicar fórmula:
P(X=2)=e-1⋅122!cap P open paren cap X equals 2 close paren equals the fraction with numerator e to the negative 1 power center dot 1 squared and denominator 2 exclamation mark end-fraction Cálculo:
P(X=2)=0.3679⋅12=0.1839cap P open paren cap X equals 2 close paren equals the fraction with numerator 0.3679 center dot 1 and denominator 2 end-fraction equals 0.1839 Resultado: La probabilidad es del 18.39%. Ejercicio 3: Cambio de intervalo (Llamadas telefónicas)
Enunciado: Una central telefónica recibe una media de 2 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba más de 1 llamada en un intervalo de 2 minutos? Solución (¡Ojo con el intervalo!): Ajustar
: Si recibe 2 llamadas en 1 minuto, en 2 minutos recibirá el doble. Definir la pregunta: "Más de 1" significa . Esto es igual a Cálculos individuales: Suma y resta: Resultado: La probabilidad es del 90.85%. Consejos para resolver ejercicios de Poisson Verifica las unidades: Asegúrate de que el promedio (
) coincida con el intervalo de tiempo o espacio que te pide la pregunta. Si no, ajústalo proporcionalmente.
Usa el complemento: Cuando te pidan "al menos uno" o "más de x", suele ser más rápido calcular la probabilidad de lo que no quieres y restárselo a 1. Calculadora a mano: El valor de e−λe raised to the negative lambda power
es la clave; ten claro cómo usar la función exponencial en tu dispositivo.
¿Te gustaría que resolvamos algún ejercicio con un intervalo de área o prefieres pasar a la distribución binomial?
Para dominar los ejercicios resueltos de distribución de Poisson, es fundamental entender que esta herramienta mide la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo específico (tiempo, distancia, área o volumen). ✅ Respuesta Directa La probabilidad de que ocurran exactamente eventos cuando el promedio es se calcula con la fórmula:
P(X=k)=e−λ⋅λkk!cap P open paren cap X equals k close paren equals the fraction with numerator e raised to the negative lambda power center dot lambda to the k-th power and denominator k exclamation mark end-fraction es la probabilidad de que ocurran exactamente ) es el promedio de ocurrencias en el intervalo dado. es la constante de Euler ( ≈2.71828is approximately equal to 2.71828 es el factorial del número de eventos. 1. Identificar el Parámetro Aquí tienes una guía rápida con la teoría
El primer paso en cualquier ejercicio es encontrar el promedio ( ) para el intervalo solicitado.
Ojo: Si el ejercicio te da un promedio por hora pero te pide la probabilidad para 30 minutos, debes ajustar proporcionalmente (ej. de 10/hora a 5/media hora). 2. Definir la Variable Determina qué te pide exactamente el problema: Exactamente
: Usas la fórmula directamente (función de masa de probabilidad). Como máximo ): Debes sumar las probabilidades desde 0 hasta Al menos ): Es más fácil calcular el complemento: 3. Ejemplo Práctico Resuelto
Problema: Una oficina recibe un promedio de 5 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 3 llamadas en una hora? Poisson distribution - solved exercises
Enunciado:
En una fábrica textil, el número de defectos por metro cuadrado de tela sigue una distribución de Poisson con media 0.5 defectos/m². Halla la probabilidad de que en una muestra de 2 m² haya exactamente 1 defecto.
Enunciado:
En una tienda entran en promedio 10 clientes cada 15 minutos. Calcula la probabilidad de que en 5 minutos entren exactamente 3 clientes.
(Concepto: Calcular probabilidad de un número exacto)
El Problema: Un puente es cruzado por un promedio de 6 vehículos cada 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 vehículos crucen el puente en un periodo de 10 minutos elegido al azar?
Resolución Paso a Paso:
Identifico mis datos:
Aplico la fórmula: $$P(4; 6) = \frace^-6 \cdot 6^44!$$
Calculadora en mano:
$$P(4; 6) = \frac0.002478 \cdot 129624$$
Resultado: $$P(4; 6) \approx \frac3.2124 \approx 0.1338$$
Conclusión: Hay un 13.38% de probabilidad de que pasen exactamente 4 vehículos. ¡No es muy alto, pero es posible! Identifico mis datos:
Enunciado: En una carretera, pasan en promedio 8 camiones cada hora en el día y 3 camiones cada hora en la noche. Si observamos de 2 PM a 4 PM (2 horas de día) y luego de 10 PM a 12 AM (2 horas de noche), ¿cuál es la probabilidad de ver exactamente 20 camiones en total?
Solución: La suma de Poisson independientes es Poisson con λ = λ1 + λ2.
$$P(X=20) = \frace^-22 \cdot 22^2020!$$
Valor aproximado: 0.071 (7.1%)
Problema: En una fábrica de autopartes se sabe que se producen, en promedio, 2 piezas defectuosas por cada lote de producción. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote no haya ninguna pieza defectuosa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 2 piezas defectuosas?
Solución:
Datos: $\lambda = 2$.
Apartado a) $P(X = 0)$ $$P(X = 0) = \frace^-2 \cdot 2^00!$$
$$P(X = 0) = 0.1353 \cdot \frac11 = 0.1353$$ Respuesta a): La probabilidad de que no haya defectos es del 13.53%.
Apartado b) $P(X > 2)$ Para calcular "más de 2", no podemos calcular infinitos valores. Usamos el complemento: $$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$$ $$P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$
Ya calculamos $P(X=0) = 0.1353$. Ahora calculemos $P(X=1)$ y $P(X=2)$:
$P(X = 1)$: $$\frace^-2 \cdot 2^11! = 0.1353 \cdot 2 = 0.2707$$
$P(X = 2)$: $$\frace^-2 \cdot 2^22! = \frac0.1353 \cdot 42 = 0.2707$$
Sumamos las probabilidades: $$P(X \leq 2) = 0.1353 + 0.2707 + 0.2707 = 0.6767$$
Aplicamos el complemento: $$P(X > 2) = 1 - 0.6767 = 0.3233$$
Respuesta b): La probabilidad de que haya más de 2 piezas defectuosas es del 32.33%.